Για το αβγολέμονο
Πλένουμε και καθαρίζουμε πολύ καλά τη συκωταριά. Τη ζεματάμε σε άφθονο βραστό νερό για 6-8 λεπτά περίπου, έως το χρώμα της γίνει σταχτί. Στη συνέχεια την αφαιρούμε και αφού κρυώσει λίγο την ψιλοκόβουμε.
Σε μεγάλη κατσαρόλα ζεσταίνουμε το ελαιόλαδο σε δυνατή φωτιά και σοτάρουμε τη συκωταριά για 7 λεπτά περίπου έως ότου ροδίσει, ανακατεύοντας τακτικά. Προσθέτουμε τα φρέσκα κρεμμυδάκια και τα μαρούλια και σοτάρουμε για ακόμα 5 λεπτά.
Όταν τα λαχανικά μαραθούν προσθέτουμε τον μισό άνηθο, αλατοπιπερώνουμε και ρίχνουμε περίπου 2 λίτρα νερό ( έως ότου φθάσει στη μέση του σκεύους).Μόλις το νερό πάρει βράση, χαμηλώνουμε τη φωτιά, σκεπάζουμε την κατσαρόλα και μαγειρεύουμε για 40 περίπου λεπτά.
Στη συνέχεια, αφού βεβαιωθούμε ότι η συκωταριά έχει μαλακώσει, προσθέτουμε το ρύζι και μαγειρεύουμε χωρίς το καπάκι για 15 ακόμα λεπτά, ανακατεύοντας τακτικά. Μόλις το ρύζι είναι έτοιμο, ρίχνουμε τον επιπλέον άνηθο που έχουμε κρατήσει, διορθώνουμε σε αλάτι και πιπέρι και αποσύρουμε από τη φωτιά.
Για το αβγολέμονο
Σε ένα μεγάλο μπολ χτυπάμε τους κρόκους των αβγών με τον αβγοδάρτη έως ότου γίνουν σαν κρέμα. Προσθέτουμε λίγο-λίγο στο μίγμα το χυμό λεμονιού συνεχίζοντας το χτύπημα. Σε άλλο μπολ χτυπάμε τα ασπράδια μέχρι να γίνουν σφιχτή μαρέγκα.
Προσθέτουμε τη μαρέγκα με δόσεις στους κρόκους, ανακατεύοντας απαλά για να μη χάσει τον όγκο της. Στη συνέχεια με μια κουτάλα της σούπας ρίχνουμε πολύ αργά ζουμί από τη μαγειρίτσα, χτυπώντας το μίγμα των αβγών συνεχώς με τον αβγοδάρτη.
Μόλις συμπληρωθούν περίπου τέσσερις κουταλιές και το αβγολέμονο έχει έρθει σε θερμοκρασία κοντινή με αυτή της μαγειρίτσας, αδειάζουμε το μίγμα στην κατσαρόλα και ανακινούμε έντονα ώστε να απλωθεί παντού.
Σερβίρουμε ρίχνοντας φρεσκοτριμμένο πιπέρι.